7 Formelsammlung
Diese Formelsammlung bündelt die wichtigsten Gleichungen aus Regression, Kausalität, Difference-in-Differences und Inferenzstatistik. Zu jeder Formel bekommst du direkt die Kurzinterpretation, die zentrale Annahme und die typische Prüfungsfalle.
7.1 Kausalität
7.1.1 Individueller kausaler Effekt
\[ \tau_i = Y_i(1) - Y_i(0) \]
Bedeutung: Unterschied zwischen dem Outcome einer Einheit mit und ohne Treatment.
Wichtig: Beide Potential Outcomes existieren theoretisch, aber nie gleichzeitig beobachtbar.
Prüfungsfalle: Nicht mit der beobachteten Differenz zwischen zwei verschiedenen Personen verwechseln.
7.1.2 Average Treatment Effect (ATE)
\[ ATE = E[Y(1) - Y(0)] \]
Bedeutung: Durchschnittlicher kausaler Effekt in der Population.
Wichtig: In randomisierten Experimenten ist die Mittelwertsdifferenz ein unverzerrter Schätzer des ATE.
Prüfungsfalle: Ein signifikanter Zusammenhang ist nicht automatisch ein kausaler Effekt.
7.2 Regression
7.2.1 Einfache lineare Regression
\[ Y_i = \alpha + \beta X_i + \varepsilon_i \]
(): Erwarteter Wert von (Y), wenn (X = 0).
(): Veränderung von (Y), wenn (X) um eine Einheit steigt.
**(_i):** Nicht erklärter Teil von (Y).
7.2.2 Multiple lineare Regression
\[ Y_i = \alpha + \beta_1 X_{1i} + \beta_2 X_{2i} + \dots + \beta_k X_{ki} + \varepsilon_i \]
Bedeutung: Jeder Koeffizient wird ceteris paribus interpretiert.
Wichtig: (_1) beschreibt den Effekt von (X_1), während alle anderen (X)-Variablen konstant gehalten werden.
Prüfungsfalle: Mehr Variablen bedeuten nicht automatisch bessere Kausalität.
7.2.3 OLS-Schätzer in der Einfachregression
\[ \hat{\beta} = \frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\mathrm{Var}(X)} \]
Bedeutung: Die Steigung hängt davon ab, wie stark (X) und (Y) gemeinsam variieren.
Wichtig: Ist die Kovarianz positiv, ist auch () positiv.
Prüfungsfalle: Nicht mit Korrelation verwechseln; der Nenner ist die Varianz von (X), nicht die Standardabweichung.
7.3 Interaktionen
7.3.1 Regression mit Interaktion
\[ Y = \alpha + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \beta_3 X_1X_2 + \varepsilon \]
Bedeutung: Der Effekt von (X_1) hängt vom Wert von (X_2) ab.
Wichtig: (_1) gilt nur für den Fall (X_2 = 0).
Prüfungsfalle: Einzelne Koeffizienten nicht isoliert interpretieren, ohne die Interaktion mitzudenken.
7.3.2 Marginaler Effekt bei Interaktion
\[ \frac{\partial Y}{\partial X_1} = \beta_1 + \beta_3 X_2 \]
Bedeutung: Die Steigung von (X_1) verändert sich mit (X_2).
Wichtig: Bei Dummy-(X_2) ergeben sich unterschiedliche Steigungen für die Gruppen.
Prüfungsfalle: (_3) ist nicht der ganze Effekt, sondern die Veränderung des Effekts.
7.3.3 Quadratisches Modell
\[ Y = \alpha + \beta_1 X + \beta_2 X^2 + \varepsilon \]
Marginaler Effekt:
\[ \frac{\partial Y}{\partial X} = \beta_1 + 2\beta_2 X \]
Wichtig: Die Steigung hängt vom aktuellen Wert von (X) ab.
Prüfungsfalle: Nicht nur auf das Vorzeichen von (_2) schauen, sondern auch auf (_1) und den betrachteten Bereich von (X).
7.4 Panel & Fixed Effects
7.4.1 Unit Fixed Effects
\[ Y_{it} = \alpha_i + \beta X_{it} + \varepsilon_{it} \]
Bedeutung: Jede Einheit hat ihren eigenen Intercept (_i).
Wichtig: Zeitinvariante unbeobachtete Unterschiede zwischen Einheiten werden kontrolliert.
Prüfungsfalle: Der Koeffizient basiert nur auf Variation innerhalb derselben Einheit über die Zeit.
7.4.2 Two-way Fixed Effects
\[ Y_{it} = \alpha_i + \lambda_t + \beta X_{it} + \varepsilon_{it} \]
**(_i):** Einheiten-Fixed-Effects.
**(_t):** Zeiteffekte für gemeinsame Schocks.
Prüfungsfalle: Time Fixed Effects kontrollieren gemeinsame Zeiteffekte, nicht länderspezifische Trends.
7.5 Difference-in-Differences
7.5.1 DiD-Logik
\[ DiD = (\bar{Y}_{T,nach} - \bar{Y}_{T,vor}) - (\bar{Y}_{K,nach} - \bar{Y}_{K,vor}) \]
Bedeutung: Vergleicht die Veränderung in der Treatmentgruppe mit der Veränderung in der Kontrollgruppe.
Wichtig: Zentrale Annahme ist Parallel Trends.
Prüfungsfalle: Unterschiedliche Ausgangsniveaus sind nicht das Kernproblem; unterschiedliche Trends vor dem Treatment schon.
7.5.2 DiD als Regressionsmodell
\[ Y_{it} = \alpha + \beta_1 Treat_i + \beta_2 Post_t + \beta_3 (Treat_i \times Post_t) + \varepsilon_{it} \]
**(_3):** geschätzter DiD-Effekt.
Wichtig: Der Interaktionsterm zwischen Treatmentgruppe und Nachher-Periode ist der eigentliche Effekt.
Prüfungsfalle: (_1) und (_2) sind nicht der Behandlungseffekt.
7.6 Inferenzstatistik
7.6.1 Standardfehler des Mittelwerts
\[ SE(\bar{Y}) = \frac{s_Y}{\sqrt{n}} \]
Bedeutung: Je größer die Stichprobe, desto kleiner der Standardfehler.
Wichtig: Höhere Streuung in den Daten erhöht den Standardfehler.
Prüfungsfalle: Standardfehler nicht mit Standardabweichung verwechseln.
7.6.2 Konfidenzintervall
\[ \hat{\theta} \pm t_{kritisch} \cdot SE(\hat{\theta}) \]
Bedeutung: Plausibler Bereich für den unbekannten Parameter.
Wichtig: Höheres Konfidenzniveau oder größerer Standardfehler machen das Intervall breiter.
Prüfungsfalle: Enthält das Intervall die 0, ist der beobachtete Effekt mit Zufall vereinbar.
7.6.3 Zentraler Grenzwertsatz
\[ \bar{Y} \overset{approx.}{\sim} \mathcal{N}\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right) \]
Bedeutung: Die Verteilung der Stichprobenmittelwerte wird mit wachsendem (n) annähernd normal.
Wichtig: Grundlage für viele Test- und Intervallverfahren.
Prüfungsfalle: Nicht die Rohdaten werden zwangsläufig normal, sondern die Verteilung des Mittelwerts.
7.6.4 (R^2) und adjustiertes (R^2)
\[ R^2 = 1 - \frac{SSR}{TSS} \]
\[ adj.\,R^2 = 1 - \frac{SSR/(n-k-1)}{TSS/(n-1)} \]
Bedeutung: Anteil erklärter Varianz und korrigierte Variante mit Strafterm für zusätzliche Prädiktoren.
Wichtig: Das adjustierte (R^2) steigt nicht automatisch mit jeder neuen Variablen.
Prüfungsfalle: Ein hohes (R^2) bedeutet nicht automatisch Kausalität.